Question

【题目】如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A1B1C1D1 ． 试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原来正方形面积的 ，请说明理由．（写出证明及计算过程）

Answer 1

【答案】解：∵A1B1C1D1是正方形， ∴A1B1=B1C1=C1D1=D1A1 ，
∵∠AA1D1+∠AD1A1=90°，∠AA1D1+∠BA1B1=90°，
∴∠AD1A1=∠BA1B1 ，
同理可得：∠AD1A1=∠BA1B1=∠DC1D1=∠C1B1C，
∵∠A=∠B=∠C=∠D，
∴△AA1D1≌△BB1A1≌△CC1B1≌△DD1C1 ，
∴AA1=D1D，
设AD1=x，那么AA1=DD1=1﹣x，
Rt△AA1D1中，根据勾股定理可得：
A1D12=x2+（1﹣x）2 ，
∴正方形A1B1C1D1的面积=A1D12=x2+（1﹣x）2= ，
解得x= ，x= ．
答：依次将四周的直角边分别为 和 的直角三角形减去即可．

【解析】本题中易证四边的四个小直角三角形全等，那么可设一边为x，那么另一边就是（1﹣x），可用勾股定理求出里面的正方形的边长的平方也就是其面积，然后根据剩下图形的面积为原来正方形面积的 ，来列方程求解．