Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，过D作DE⊥BC于点E，点P是边BC上的一个动点，AP与CD相交于点Q．当AP+PD的值最小时，AQ与PQ之间的数量关系是（ ）

A.AQ= PQ
B.AQ=3PQ
C.AQ= PQ
D.AQ=4PQ

Answer 1

【答案】B
【解析】如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′D交BC于点P，此时PA+PD最小．作DM∥BC交AC于M，交PA于N．

∵∠ACB=∠DEB=90°，

∴DE∥AC，

∵AD=DB，

∴CE=EB，

∴DE= AC= CA′，

∵DE∥CA′，

∴ = = ，

∵DM∥BC，AD=DB，

∴AM=MC，AN=NP，

∴DM= BC=CE=EB，MN= PC，

∴MN=PE，ND=PC，

在△DNQ和△CPQ中，

，

∴△DNQ≌△CPQ，

∴NQ=PQ，

∵AN=NP，

∴AQ=3PQ．

所以答案是：B．

【考点精析】掌握轴对称-最短路线问题是解答本题的根本，需要知道已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径．