Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），分别以AB、BC为边作等边三角形ABE和等边三角形BCD，连结CE，如图1所示．

（1）直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）判断DC与CE的位置关系，并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，如图2，若∠DEC=45°，求α的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB=AC，∠A=∠α，

∴∠ABC=∠ACB=

=90°﹣ ∠α

∴∠ABD=∠ABC﹣∠ABE

=90°﹣ ∠α﹣60°

=30°﹣ ∠α

（2）解：DC与CE垂直；

连接AD；

∵∠ABE=∠DBC=60°，

∴∠ABE﹣∠DBE=∠DBC﹣∠DBE，

即∠ABD=∠EBC，

在△ABD和△EBC中，

，

∴△ABD≌△EBC，

∴∠ADB=∠ECB，

在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠BAD=∠CAD= ∠α，

∴∠BDA=180°﹣∠ABD﹣∠BAD=180°﹣（30°﹣ ∠α ）﹣ ∠α=150°，

∴∠BCE=150°，

∵∠BCD=60°，

∴∠DCE=90°，

即DC与CE垂直

（3）解：∵∠DCE=90°，

又∵∠DEC=45°，

∴△DEC为等腰三角形，

∴DC=DE=BC，

∵∠BCE=150°，

∴∠EBC=15°，

∵∠EBC=30°﹣ ∠α=15°，

∴∠α=30°

【解析】（1）用α的式子表示∠ABC，再利用∠ABD=∠ABC﹣60°;（2）连接AD,构造全等三角形，即△ABD≌△ACD，∠BDA=180°﹣∠ABD﹣∠BAD=180°﹣（30°﹣ ∠α ）﹣ ∠α=150°，进而求出∠DCE=90°；（3）由已知可得△DEC为等腰三角形，DC=DE=BC，∠EBC=30°﹣ ∠α=15°，进而∠α=30°