Question

【题目】已知矩形ABCD，点P为边BC上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°，点A恰好落在直线CD上点E处

(1) 如图1，点E在线段CD上，求证：AD＋DE＝2AB

(2) 如图2，点E在线段CD的延长线上，且点D 为线段CE的中点，在线段BD上取点F，连接AF、PF，若AF=AB，求证：∠APF＝∠ADB

(3) 如图3，点E在线段CD上，连接BD．若AB＝2，BD∥PE，则DE＝___________ （直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）用同角的余角相等得出∠BAP=∠CPE，进而判断出△ABP≌△PCE，即可的得出AB=PC=CD，BP=CE，最后用相等的线段代换即可；
（2）先判断出四边形ABDE是平行四边形则有BD∥AE，即可得到， 再判断出，△APF≌△EPD，则有∠AFP=∠DEP，最后用三角形的外角和等角代换即可；
（3）先借助（1）的结论得出PC=AB=2, AD=4DE，再判断出△CPE∽△CBD，则有最后代值解关于的方程即可．

试题解析：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴

∴

∵

∴

∴∠BAP=∠CPE，

在△ABP和△PCE中,

∴△ABP≌△PCE，

∴AB=PC=CD，BP=CE，

∴AD+DE=BC+DE=BP+PC+DE=CE+CP+DE=CP+CD=2AB；

(2)如图,

∵AB=AF，

∴∠ABF=∠AFB，

∵AB∥DC，

∴∠ABF=∠BDC，

∴∠AFB=∠BDC，

∴∠AFD=∠EDF，

∵AB=CD=DE,AB∥CD，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴BD∥AE，

∵

∴

∴

∵BD∥AE，

∴

∵∠AFD=∠EDF，

∴∠FAE=∠DEA，

∵∠PAE=∠PEA，

∴∠FAP=∠DEP，

在△APF和△EPD中,

∴△APF≌△EPD，

∴∠AFP=∠DEP，

∵∠AFD=∠EDF，

∴∠PFD=∠PDF，

在Rt△PCD中，PC=PD，

∴ ∴

∴

∵

∴

∴∠APF=∠ADB；

(3)由(1)知,△ABP≌△PCE，

∴PC=AB=2,由(1)知，AD+DE=2AB=4，

∴AD=4DE，

∵DB∥PE，

∴△CPE∽△CBD，

∴

∵CB=AD=4DE，CD=AB=2，CE=CDDE=2DE，

∴

∴ (由于点E在线段CD上,且CD=2,所以舍去)或

即：

故答案为：