Question

【题目】如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE、BA交于点F，连接AC、DF．

（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；

（2）当CF平分∠BCD，且BC＝6时，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）3

【解析】

（1）因为BFCD,已经有一组对边平行我们想到可以运用一组对边平行且相等这个判定定理来证明，所以只需要证明AF=CD就可以通过证明四边形AFDC是平行四边形．

（2）因为AE=ED, ,且CF平分,所以是等腰三角形，即ED=DC

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AD＝BC，

∴∠FAE＝∠CDE．

∵E是AD的中点，

∴AE＝DE．

在△FAE和△CDE中，，

∴△FAE≌△CDE（AAS），

∴CD＝FA．

又∵CD∥AF，

∴四边形ACDF是平行四边形；

（2）解：∵CF平分∠BCD，

∴∠DCE＝45°．

∵∠CDE＝90°，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴CD＝DE．

∵E是AD的中点，

∴CD＝AD＝BC＝3．