Question

【题目】如图，在中，，，，的中垂线与的角平分线交于点，则四边形的面积为_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

过点E作EG⊥AB交AB延长线于G，作EH⊥AC于H，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质得到EG＝EH，EB＝EC，然后证明Rt△EGB≌Rt△EHC，Rt△AGE≌Rt△AHE，求出S△EGB＝S△EHC，BG＝，得到AG＝，然后证明四边形AGEH是正方形，根据四边形ABEC的面积等于正方形AGEH的面积计算即可.

解：过点E作EG⊥AB交AB延长线于G，作EH⊥AC于H，

∵AE是∠BAC的角平分线，

∴EG＝EH，

∵DE是线段BC的垂直平分线，

∴EB＝EC，

在Rt△EGB和Rt△EHC中，，

∴Rt△EGB≌Rt△EHC（HL），

∴BG＝CH，S△EGB＝S△EHC，

在Rt△AGE和Rt△AHE中，，

∴Rt△AGE≌Rt△AHE（HL），

∴AG＝AH，

∴AB＋BG＝AC－CH，

∴3＋BG＝4－BG，

∴BG＝，

∴AG＝AB＋BG＝，

∵∠GAC＝∠AGE＝∠AHE＝90°，

∴四边形AGEH是矩形，

∵AG＝AH，

∴矩形AGEH是正方形，

∴S四边形ABEC＝S四边形ABEH＋S△EHC＝S四边形ABEH＋S△EGB＝S正方形AGEH＝AG2＝，

故答案为：.