Question

【题目】已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CE平分∠ACB交AB于点E．

（1）∠B= 度．

（2）如图1，若点D在斜边BC上，DM垂直平分BE，垂足为M．求证：BD=AE；

（3）如图2，过点B作BF⊥CE，交CE的延长线与点F．若CE=6，求△BEC的面积．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）见解析；（3）9．

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质解答即可；

（2）连接DE，由∠BAC=90°，AB=AC，可得∠B=45°，由DM垂直平分BE，可得BD=DE，进而判断△BDE是等腰直角三角形，所以ED⊥BD，然后由角平分线的性质可得ED=AE，根据等量代换可得BD=AE；

（3）延长BF，CA，交与点G，由CE平分∠ACB，可得∠ACE=∠BCE，由BF⊥CE，可得∠BFC=∠GFC=90°，然后由三角形内角和定理可得：∠GBC=∠G，进而可得BC=GC，然后由等腰三角形的三线合一，可得BF=FG=BG，所以BG=2BF=2FG=4，然后再由ASA，可证△ACE≌△ABG，可得EC=BG=4，最后根据三角形的面积公式即可求△BEC的面积．

解：（1）∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=45°，

故答案为：45；

（2）连接ED，如图1，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵DM垂直平分BE，

∴BD=ED，

∴∠BED=∠B=45°，

∴∠EDC=∠B+∠BED=90°，

∵CE平分∠ACB，∠BAC=90°，∠EDC=90°，

∴ED=EA，

∴BD=AE；

（3）延长BF和CA交于点G，如图2，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACF=∠BCF，

∵BF⊥CE，

∴∠BFC=∠GFC=90°，

∴∠CBG=∠CGB，

∴CG=CB，

∴BF=GF=BG，

∵∠GFC=∠GAB=90°，

∴∠ACF+∠G=90°，

∴∠ABG+∠G=90°，

∴∠ACF=∠ABG，

在△ACE和△ABG中

∠ACE=∠ABG

AC=AB

∠EAC=∠GAB

∴△ACE≌△ABG（ASA），

∴CE=BG，

∴CE=2BF，

∵CE=6，

∴BF=CE=3，

．