Question

【题目】如图， 为线段上一动点，分别过点、作， ，连接、，已知， ， ，设．

（1）用含的代数式表示的长；

（2）请问点在什么位置时， 的值最小，求出这个最小值；

（3）根据（2）中的规律和结论，构图求出代数式的最小值．

Answer 1

【答案】（1）用含x的代数式表示的长

（2）当A、C、E三点共线时取最小值，最小值为10；

（3）代数式最小值为

【解析】试题分析：

试题分析：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；

（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；

（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式 +的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．

试题解析：（1）由勾股定理知

∴

（2）当、、三点共线时取最小值，如下图

∴在和中

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

（3）根据（2）中规律可以构造出如图所示

由（2）中方法可得：

∴

∴

∴

∴

∴代数式最小值为