Question

【题目】数学思考：

（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并证明你的结论
（2）①如图2，已知AA1∥BA1 ， 请你猜想∠A1 ， ∠B1 ， ∠B2 ， ∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；
②如图3，已知AA1∥BAn ， 直接写出∠A1 ， ∠B1 ， ∠B2 ， ∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的关系
（3）①如图4所示，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为
A.180°+α+β﹣γ B.180°﹣α﹣γ+β C．β+γ﹣α D．α+β+γ
②如图5，AB∥CD，且∠AFE=40°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，请你根据上述结论直接写出∠GHM的度数是 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，过点P作OP∥AB，

∵AB∥CD，

∴OP∥AB∥CD，

∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，

∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，

即∠APC=∠PAB+∠PCD

（2）解：①如图2，过点A2作A2O∥AA1，

由（1）可知∠B1=∠A1+∠1，∠B2=∠2+∠A3，

所以，∠B1+∠B2=∠A1+∠A2+∠A3；

②如图3，由①可知：

∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1

（3）B,30°
【解析】解：（1）如图1，过点P作OP∥AB，

∵AB∥CD，

∴OP∥AB∥CD，

∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，

∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，

即∠APC=∠PAB+∠PCD

（2）①如图2，过点A2作A2O∥AA1，

由（1）可知∠B1=∠A1+∠1，∠B2=∠2+∠A3，

所以，∠B1+∠B2=∠A1+∠A2+∠A3；

②如图3，由①可知：

∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1

（3）①如图4，过∠x的顶点作CD∥AB，

则∠x=（180°﹣α）+（β﹣γ）=180°﹣α﹣γ+β，

②如图5，由（1）可知，40°+∠GHM+50°=∠G+∠M，

∵∠G=90°，∠M=30°，

∴∠GHM=90°+30°﹣40°﹣50°=30°．
所以答案是：（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；（2）∠B1+∠B2=∠A1+∠A2+∠A3；∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1；（3）B；30°.
【考点精析】通过灵活运用平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补即可以解答此题．