Question

【题目】如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OA．

∵AE是⊙O切线，

∴OA⊥AE，

∴∠OAE=90°，

∴∠EAD+∠OAD=90°，

∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，

∴∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠AED=90°，

∴AE⊥CD

（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．

∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，

∴四边形AOFE是矩形．

∴OF=AE=4cm．

又∵OF⊥CD，

∴DF= CD=3cm．

在Rt△ODF中，OD= =5cm，

即⊙O的半径为5cm

【解析】（1）欲证明AE⊥CD，只要证明∠EAD+∠ADE=90°即可；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF=AE，根据垂径定理得出DF= CD，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的性质定理的相关知识，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．