Question

【题目】Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，BC＝2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

由已知条件易证BC=AC=CD，这样结合∠EDC=∠ABC=90°，∠C=∠C，即可证得△EDC≌△ABC，结合四边形ABEF是矩形可得DE=AB=EF，再证∠DEF=60°即可得到△DEF是等边三角形，从而可得DF=DE，这样在Rt△DEC中由DC=BC=2结合∠C=60°求出DE的长即可得到DF的长.

∵在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，

∴∠BAC=30°，

∴BC=AC，

又∵点D是AC的中点，

∴BC=DC，

∵DE⊥AC，

∴∠EDC=90°=∠ABC，

又∵∠C=∠C，

∴△EDC≌△ABC，

∴DE=AB，∠DEC=∠BAC=30°，

∵四边形ABEF是矩形，

∴DE=AB=EF，∠FEC=90°，

∴∠FED=90°-30°=60°，

∴△DEF是等边三角形，

∴DF=DE，

∵在Rt△DEC中，∠DEC=30°，∠EDC=90°，CD=2，

∴CE=4，

∴DE=，

∴DF=.

故选C.