Question

【题目】（1）问题探究

①如图1，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝3，P是AC边上一点，连接BP，则BP的最小值为　 　．

②如图2，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝a，求边AB的长度（用含a的代数式表示）．

（2）问题解决

如图3，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2，D是边BC的中点，若P是AB边上一点，试求：PD+AP的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）．

【解析】

（1）①作BE⊥AC于E，先利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出BE，由此得到BP的最小值为BE的长；

②利用AC=a根据勾股定理即可求出AB的长度；

（2）作AH⊥AC，PE⊥AH于E，DF⊥AH于F交AB于T，利用等腰直角三角形的性质得到BT＝BD＝AT＝1，DT＝，再求出TF＝得到DP+PA＝DP+PE，由此得到DP+PE最小值为DF的长，计算DF即可得到答案.

（1）①如图1中，作BE⊥AC于E．

在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝3，

∴AB＝ ,

∵S△ABC＝ACBE＝ABBC，

∴BE＝，

根据垂线段最短可知当BP与BE重合时，PB的值最小，最小值为，

故答案为．

②如图2中，

∵∠B＝90°，AB＝BC，

∴AB2+BC2＝AC2，

∴AB2＝a2，

∴AB＝或﹣（舍弃），

∴AB＝；

（2）如图3中，作AH⊥AC，PE⊥AH于span>E，DF⊥AH于F交AB于T．

∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝2，

∴AB＝BC＝2，∠BAC＝∠C＝45°，

∵点D是BC的中点，

∴BD＝CD＝1，

∵DF⊥AH，AC⊥AH，

∴DF∥AC，

∴∠BTD＝∠BAC＝45°，∠BDT＝∠C＝45°，

∴∠BTD＝∠BDT，

∴BT＝BD＝AT＝1，DT＝，

∵AH⊥AC，∠BAC＝45°，

∴∠HAC＝90°，∠HAT＝45°，

∴AF＝TF＝，

∴PE＝PA，

∴DP+PA＝DP+PE，

根据垂线线段最短可知，当点E与F重合时，PD+PA的值最小，最小值为DF的长＝+＝.