【题目】如图,抛物线交x轴于
,
两点,与y轴交于点C,AC,BC.M为线段OB上的一个动点,过点M作
轴,交抛物线于点P,交BC于点Q.
(1)求抛物线的表达式;
(2)过点P作,垂足为点N.设M点的坐标为
,请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少?
(3)试探究点M在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
,当
时,PN有最大值,最大值为
. (3)满足条件的点Q有两个,坐标分别为:
,
.
【解析】
(1)将点A、B的坐标代入解析式中求解即可;
(2)由(1)求得点C坐标,利用待定系数法求得直线BC的解析式,然后用m表示出PN,再利用二次函数的性质即可求解;
(3)分三种情况:①AC=CQ;②AC=AQ;③CQ=AQ,分别求解即可.
解:(1)将,
代入
,得
,解之,得
.
所以,抛物线的表达式为.
(2)由,得
.
将点、
代入
,得
,解之,得
.
所以,直线BC的表达式为:.
由,得
,
.
∴
∵,∴
.
∴.
∴.
.
∵
∴当时,PN有最大值,最大值为
.
(3)存在,理由如下:由点,
,知
.
①当时,过Q作
轴于点E,易得
,
由,得
,
(舍)
此时,点;
②当时,则
.
在中,由勾股定理,得
.
解之,得或
(舍)
此时,点;
③当时,
由,得
(舍).
综上知所述,可知满足条件的点Q有两个,坐标分别为:,
.
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【题目】在一个不透明的布袋里装有3个标有数字1,2,4的小球,它们除数字不同外形状大小完全相同.小昆从布袋里随机取出一个小球,记下数字为x,然后放回布袋搅匀,再从布袋中随机取出一个小球,记下数字为y,这样确定了点M的坐标(x,y);
(1)用列表或画树状图的方法(只选其中一种),表示出点M所有可能的坐标;
(2)求点M(x,y)在函数y=的图象上的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,线段的端点都在网格线的交点上(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形),按要求完成下列任务.
(1)以点为旋转中心,将线段
逆时针旋转
,得到线段
,画出线段
;
(2)以原点为位似中心,将线段
在第一象限扩大3倍,得到线段
,画出线段
;(点
,
的对应点分别是
,
)
(3)在线段上选择一点
,使得以点
,
,
,
为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点
的坐标.
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【题目】为进一步发展基础教育,自2014年以来,某县加大了教育经费的投入,2014年该县投入教育经费6000万元。2016年投入教育经费8640万元。假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同。
(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率;
(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率,请你预算2017年该县投入教育经费多少万元。
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【题目】欧拉(Euler,1707年~1783年)为世界著名的数学家、自然科学家,他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究,发现多面体的顶点数(Vertex)、棱数E(Edge)、面数F(Flat surface)之间存在一定的数量关系,给出了著名的欧拉公式.
(1)观察下列多面体,并把下表补充完整:
名称 | 三棱锥 | 三棱柱 | 正方体 | 正八面体 |
图形 | ||||
顶点数V | 4 | 6 | 8 | |
棱数E | 6 | 12 | ||
面数F | 4 | 5 | 8 |
(2)分析表中的数据,你能发现V、E、F之间有什么关系吗?请写出关系式:____________________________.
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【题目】山地自行车越来越受年轻人的喜爱.某车行经营的A型山地自行车去年销售总额为30万元,今年每辆车售价比去年降低了200元.若卖出的数量相同,销售总额将比去年减少10%,
(1)今年A型车每辆售价多少元?
(2)该车行计划再进一批A型车和新款B型车共60辆,要使这批车获利不少于4万元,A型车至多进多少辆?
A、B两种型号车的进货和销售价格如表:
A型车 | B型车 | |
进货价格(元) | 1200 | 1400 |
销售价格(元) | 今年的销售价格 | 2200 |
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【题目】今年植树节期间,某景观园林公司购进一批成捆的,
两种树苗,每捆
种树苗比每捆
种树苗多10棵,每捆
种树苗和每捆
种树苗的价格分别是630元和600元,而每棵
种树苗和每棵
种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍.
(1)求这一批树苗平均每棵的价格是多少元?
(2)如果购进的这批树苗共5500棵,种树苗至多购进3500棵,为了使购进的这批树苗的费用最低,应购进
种树苗和
种树苗各多少棵?并求出最低费用.
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【题目】为弘扬中华传统文化,某校开展“双剧进课堂”的活动,该校童威随机抽取部分学生,按四个类别:表示“很喜欢”,
表示“喜欢”,
表示“一般”,
表示“不喜欢”,调查他们对汉剧的喜爱情况,将结果绘制成如下两幅不完整的统计图,根据图中提供的信息,解决下列问题:
(1)这次共抽取_________名学生进行统计调查,扇形统计图中,类所对应的扇形圆心角的大小为__________
(2)将条形统计图补充完整
(3)该校共有1500名学生,估计该校表示“喜欢”的类的学生大约有多少人?
各类学生人数条形统计图各类学生人数扇形统计图
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【题目】已知直线与
轴相交于点A,与
轴相交于点B.点C在
轴上运动,作CD⊥AB,垂足为D.点E为
轴上一动点,点E关于CD中点的中心对称点为点F.设点C的坐标为(0,n).
(1)用n表示线段CD的长;
(2)当OC=1时,若点F落在直线y轴上,求此时点E的坐标;
(3)在点E的运动过程中,若存在唯一的位置,使得四边形CEDF为矩形,请直接写出点C的坐标
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