Question

【题目】如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
①当线段PQ= AB时，求tan∠CED的值；
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴

∴b=﹣2

∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），

∴c=﹣3，

∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣2x﹣3；

（2）

解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，

当y=0时，x2﹣2x﹣3=0．

∴x1=﹣1，x2=3．

∵A点在B点左侧，

∴A（﹣1，0），B（3，0）

设过点B（3，0）、C（0，﹣3）的直线的函数表达式为y=kx+m，

则 ，∴

∴直线BC的函数表达式为y=x﹣3；

（3）

解：

①∵AB=4，PQ= AB，

∴PQ=3

∵PQ⊥y轴

∴PQ∥x轴，

则由抛物线的对称性可得PM= ，

∵对称轴是直线x=1，

∴P到y轴的距离是 ，

∴点P的横坐标为 ，

∴P（ ， ）

∴F（0， ），

∴FC=3﹣OF=3﹣ =

∵PQ垂直平分CE于点F，

∴CE=2FC=

∵点D在直线BC上，

∴当x=1时，y=﹣2，则D（1，﹣2），

过点D作DG⊥CE于点G，

∴DG=1，CG=1，

∴GE=CE﹣CG= ﹣1= ．

在Rt△EGD中，tan∠CED= ．

②P1（1﹣ ，﹣2），P2（1﹣ ，﹣ ）．

设OE=a，则GE=2﹣a，

当CE为斜边时，则DG2=CGGE，即1=（OC﹣OG）（2﹣a），

∴1=1×（2﹣a），

∴a=1，

∴CE=2，

∴OF=OE+EF=2

∴F、P的纵坐标为﹣2，

把y=﹣2，代入抛物线的函数表达式为y=x2﹣2x﹣3得：x=1+ 或1﹣

∵点P在第三象限．

∴P1（1﹣ ，﹣2），

当CD为斜边时，DE⊥CE，

∴OE=2，CE=1，

∴OF=2.5，

∴P和F的纵坐标为：﹣ ，

把y=﹣ ，代入抛物线的函数表达式为y=x2﹣2x﹣3得：x=1﹣ ，或1+ ，

∵点P在第三象限．

∴P2（1﹣ ，﹣ ）．

综上所述：满足条件为P1（1﹣ ，﹣2），P2（1﹣ ，﹣ ）．

【解析】已知C点的坐标，即知道OC的长，可在直角三角形BOC中根据∠BCO的正切值求出OB的长，即可得出B点的坐标．已知了△AOC和△BOC的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO与OB的比．由此可求出OA的长，也就求出了A点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．