Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B；直线AB与直线y=x交于点A，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q．

（1）求证：OB=OC；
（2）当点C坐标为（0，3）时，求点Q的坐标；
（3）当△OPC≌△ADP时，直接写出C点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：过P作GH⊥OC，垂足为G，交AB于H，

过P作PE⊥x轴，垂足为E，

∵AB⊥OB，

∴GH⊥AB，

∵∠CPD=90°，

∴∠GPC+∠DPH=90°，

∠GCP+∠GPC=90°，

∴∠GCP=∠DPH，

又∵∠CGP=∠PHD=90°，PC=PD，

∴△CGP≌△PHD，

∴CG=PH，

∵∠PEB=∠EBH=∠BHP=90°，

∴四边形PEBH为矩形，

∴PH=EB，

∴CG=EB，

∵GH∥OB，OG∥PE，∠GOE=90°，

∴四边形GOEP为矩形，

∵直线OA：y=x，

∴∠GOP=∠POE=45°，

∵∠GPO=∠POE=45°，

∴∠GOP=∠GPO，

∴GO=GP，

∴矩形GOEP为正方形，

∴OG=OE，

∴OG+GC=OE+EB，

即OC=OB

（2）

证明：∵P（1，1），

∴OG=BH=PG=DH=1，

∵C（0，3），

∴OB=OC=3，

∴D（3，2），

设直线CD的解析式为：y=kx+b，

把D（3，2）、C（0，3）代入得： ，

解得 ，

∴直线CD的解析式为：y=﹣ x+3，

则 解得 ，

∴Q（ ， ）

（3）

证明：如图2，过P作GH⊥OC，垂足为G，交AB于H，

设CG=x，则PH=x，OC=x+1，

∵△OPC≌△ADP，

∴AP=OC=x+1，AD=OP= ，

∴AH= +1，

在Rt△APH中，由勾股定理得：（x+1）2=x2+（ +1）2，

x= +1，

∴C（0，2+ ）．

【解析】（1）作辅助线，构建全等三角形，证明CG=EB，证明四边形OGPE为正方形得OG=OE，所以OC=OB；（2）先求点D的坐标，再利用待定系数法求直线CD的解析式，与直线OA的解析式列方程组求出点Q的坐标；（3）设CG=x，根据△OPC≌△ADP表示出直角三角形APH各边的长，利用勾股定理列方程求出x的值，写出点C的坐标．