Question

【题目】如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD=60°,点E是AD上一动点(不与A、D重合)，点F是CD上一动点，且AE+CF=4，则△DEF面积的最大值为__________

Answer 1

【答案】

【解析】首先过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，由菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，即可求得AD=CD=4，∠FDG=60°，然后设AE=x，即可得S△DEF=DEFG=﹣（x﹣2）2+，然后根据二次函数的性质，即可求得答案．

过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G．

∵菱形ABCD边长为4，∠BAD=60°，∴AD=CD=4，∠ADB=180°﹣∠BAD=120°，∴∠FDG=180°﹣∠ADB=60°，设AE=x．

∵AE+CF=4，∴CF=4﹣x；

∴DE=AD﹣AE=4﹣x，DF=CD﹣CF=4﹣（4﹣x）=x．在Rt△DFG中，FG=DFsin∠GDF=x，∴S△DEF=DEFG=×（4﹣x）×x=﹣x2+x=﹣（x2﹣4x）=﹣（x﹣2）2+，∴当x=2时，△DEF面积的最大，最大值为．

故答案为：．