Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=5，过点A、B作⊙O，交AD、BC于点E、F，连接BE、CE，过点F作FG⊥CE，垂足为G．

（1）当点F是BC的中点时，求证：直线FG与⊙O相切；

（2）若FG∥BE时，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析;（2）AE=1或4.

【解析】试题分析：（1）连接OF，由点F是BC的中点，得到BF=CF，在矩形ABCD中，∠A=90°，证得BE是 O的直径，求得BO=OE，根据三角形的中位线的性质得到OF∥CE，证得OF⊥FG，即可得到结论；

（2）根据平行线的性质得到BE⊥CE，由余角的性质得到∠ABE=∠DEC，证得△ABE∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得到结论．

试题解析：(1)证明：连接OF，

∵点F是BC的中点，

∴BF=CF，

在矩形ABCD中,∵∠A=90°，

∴BE是O的直径，

∴BO=OE，

∴OF∥CE，

∵FG⊥CE，

∴OF⊥FG，

∴直线FG与O相切；

(2)∵FG∥BE，FG⊥CE，

∴BE⊥CE，

∴∠AEB+∠DEC=90°，

∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠ABE=∠DEC，

∵∠A=∠D=90°，

∴△ABE∽△CDE，

∴，

∵AB=2，AD=5，

∴CD=AB=2，

∴，

∴AE=1或AE=4.