Question

【题目】如图，在△ABC中AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB.

（1）求证：△DEF是等腰三角形；

（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；

（3）猜想：当∠A为多少度时，∠DEF=60°？请说明理由。

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）通过全等三角形的判定定理SAS证得△DBE≌△RCF，由“全等三角形的对应边相等”推知DE=EF，所以△DEF是等腰三角形；

（2）由等腰△ABC的性质求得∠B=∠C=（180°-40°）=70°，所以根据三角形内角和定理推知∠BDE+∠DEB=110°；再结合△DBE≌△ECF的对应角相等：∠BDE=∠FEC，故∠FEC+∠DEB=110°，易求∠DEF=70°；

（3）由（2）知，∠DEF=∠B，于是得到∠B=60°，推出△ABC是等边三角形，于是得到结论.

解：（1）因为AB=AC，所以∠B=∠C.

因为AD+EC=AB，AD+DB=AB,

所以BD=EC.

在△DBE和 △ECF中，因为BE=CF,∠B=∠C,BD=EC,

所以△DBE≌△ECF（SAS）.

所以DE=EF.

所以△DEF是等腰三角形.

（2）因为∠A=40°，∠B=∠C，

所以∠B=∠C=70°.

因为△DBE≌△ECF，所以∠BDE=∠CEF.

因为∠DEC=∠DEF+∠FEC=∠B+∠BDE,

所以∠DEF=∠B.所以∠DEF=70°，

（3）当∠A为60°时，∠DEF=60°.理由如下：

由（2）知∠DEF=∠B.

若∠DEF=60°，则∠B=60°.

因为AB=AC，所以∠ABC是等边三角形.

所以∠A=60°.