Question

【题目】已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．

Answer 1

【答案】
（1）

解：结论AE=EF=AF．理由：如图1中

，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，

∴△ABC，△ADC是等边三角形，

∴∠BAC=∠DAC=60°

∵BE=EC，

∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，

∵∠EAF=60°，

∴∠CAF=∠DAF=30°，

∴AF⊥CD，

∴AE=AF（菱形的高相等），

∴△AEF是等边三角形，

∴AE=EF=AF．

（2）

解：证明：如图2中

，∵∠BAC=∠EAF=60°，

∴∠BAE=∠CAE，

在△BAE和△CAF中，

，

∴△BAE≌△CAF，

∴BE=CF．

（3）

解：

过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，

∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，

∴∠AEB=45°，

在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，

∴BG=2，AG=2 ，

在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，

∴AG=GE=2 ，

∴EB=EG﹣BG=2 ﹣2，

∵△AEB≌△AFC，

∴AE=AF，EB=CF=2 ﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，

∵∠EAF=60°，AE=AF，

∴△AEF是等边三角形，

∴∠AEF=∠AFE=60°

∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，

∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，

在RT△EFH中，∠CEF=15°，

∴∠EFH=75°，

∵∠AFE=60°，

∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，

∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，

在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2 ﹣2，

∴FH=CFcos30°=（2 ﹣2） =3﹣ ．

∴点F到BC的距离为3﹣ ．

【解析】（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形．
　　　　（2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CFcos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题． 本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
【考点精析】通过灵活运用菱形的性质，掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半即可以解答此题．