Question

【题目】在中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为3倍角三角形．

（1）在中，，，则为________倍角三角形；

（2）若是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的，求的最小内角．

（3）若是2倍角三角形，且，请直接写出的最小内角的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）的最小内角为15°或9°或；（3）30°＜x＜45°．

【解析】

(1)根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据倍角三角形的定义判断即可得到答案；

(2) 根据△DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答即可得到答案；

(3) 可设未知数表示2倍角三角形的各个内角，然后列不等式组确定最小内角的取值范围．

解：(1)∵在中，，，

∴∠C=180°-55°-25°=100°，

∴∠C=4∠B，

故为4倍角三角形；

(2) 设其中一个内角为x°，3倍角为3x°，则另外一个内角为：
①当小的内角的度数是3倍内角的余角的度数的时，

即：x=（90°-3x），

解得：x=15°，

②3倍内角的度数是小内角的余角的度数的时，

即：3x=（90°-x），解得：x=9°，

③当时，

解得：，

此时：=，因此为最小内角，

因此，△DEF的最小内角是9°或15°或．

(3) 设最小内角为x，则2倍内角为2x，第三个内角为（180°-3x），由题意得：
2x＜90°且180°-3x＜90°，
∴30°＜x＜45°，
答：△MNP的最小内角的取值范围是30°＜x＜45°．