Question

【题目】如图，已知一次函数y1= x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣ ，0）．

（1）求二次函数的最大值；
（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程 =0的根，求a的值；
（3）若点F、G在图象C′上，长度为 的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函数y2=﹣x2+mx+b经过点B（0，1）与A（2﹣ ，0），

∴ ，

解得

∴l：y1= x+1；

C′：y2=﹣x2+4x+1．

∵y2=﹣x2+4x+1=﹣（x﹣2）2+5，

∴ymax=5

（2）解：联立y1与y2得： x+1=﹣x2+4x+1，解得x=0或x= ，

当x= 时，y1= × +1= ，

∴C（ ， ）．

使y2＞y1成立的x的取值范围为0＜x＜ ，

∴s=1+2+3=6．

代入方程得

解得a= ；

经检验a= 是分式方程的解

（3）解：∵点D、E在直线l：y1= x+1上，

∴设D（p， p+1），E（q， q+1），其中q＞p＞0．

如答图1，过点E作EH⊥DG于点H，则EH=q﹣p，DH= （q﹣p）．

在Rt△DEH中，由勾股定理得：EH2+DH2=DE2，即（q﹣p）2+[ （q﹣p）]2=（ ）2，

解得q﹣p=2，即q=p+2．

∴EH=2，E（p+2， p+2）．

当x=p时，y2=﹣p2+4p+1，

∴G（p，﹣p2+4p+1），

∴DG=（﹣p2+4p+1）﹣（ p+1）=﹣p2+ p；

当x=p+2时，y2=﹣（p+2）2+4（p+2）+1=﹣p2+5，

∴F（p+2，﹣p2+5），

∴EF=（﹣p2+5）﹣（ p+2）=﹣p2﹣ p+3．

S四边形DEFG= （DG+EF）EH= [（﹣p2+ p）+（﹣p2﹣ p+3）]×2=﹣2p2+3p+3

∴当p= 时，四边形DEFG的面积取得最大值，

∴D（ ， ）、E（ ， ）．

如答图2所示，过点D关于x轴的对称点D′，则D′（ ，﹣ ）；

连接D′E，交x轴于点P，PD+PE=PD′+PE=D′E，

由两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小．

设直线D′E的解析式为：y=kx+b，

则有 ，

解得

∴直线D′E的解析式为：y= x﹣ ．

令y=0，得x= ，

∴P（ ，0）．

【解析】（1）用待定系数法将点B、点A代入一次函数解析式和二次函数解析式，就可以求出两函数的解析式，再求出二次函数的顶点坐标，即可求出函数的最大值。
（2）先求出抛物线与直线BC的两交点坐标，观察图像，写出使y2＞y1成立的x的取值范围，求出所有整数的和s的值，再将x=s代入方程，既可求出a的值。注意：此方程式分式方程必须检验。
（3）抓住已知条件中的长度为 5 的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，因此添加辅助线，过点E作EH⊥DG于点H，D、E两点再直线BC上，设出这两点的坐标，根据勾股定理，得出EH=2，E（p+2，p+2），再将当x=p时，当x=p+2时，分别代入二次函数解析式，求出对应的函数值，即可表示出点F、点G的坐标，再求出DG、EF的长，根据梯形的面积求出s与t的函数关系式，求出顶点坐标，即可求得p的值，并求出点D、E的坐标，要在x轴上求点P，使PD+PE最小，因此过点D作关于x轴的对称点D′，，求出直线D′E的解析式，即可求出点P的坐标

【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法，以及对二次函数的最值的理解，了解如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．