Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上（点D不与点A，C重合），点E是射线BC上的一个动点（点E不与点B，C重合），连接DE，以DE为边作等边△DEF，连接CF.

（1）如图1，当DE的延长线与AB的延长线相交，且点C，F在直线DE的同侧时，过点D作DG∥AB，DG交BC于点G，求证：CF=EG；

（2）如图2，当DE的反向延长线与AB的反向延长线相交，且点C，F在直线DE的同侧时，求证：CD=CE+CF；

（3）如图3，当DE的反向延长线与线段AB相交，且点C，F在直线DE的异侧时，猜想CD、CE、CF之间的等量关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）FC=DC+EC，证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证出△DCG是等边三角形，得出DC＝DG，由△DEF是等边三角形得出DF＝DE，然后根据角的关系得出∠EDG＝∠FDC，进而得出△EDG≌△FDC，根据全等三角形的性质即可得出结论；

（2）过点D作DG∥AB，DG交BC于点G．同（1）的证明思路可得△EDG≌△FDC．根据全等三角形的对应边相等等量代换即可得出结论；

（3）过点D作DG∥AB，DG交BC于点G．类似于（1）（2）的证明思路可得△EDG≌△FDC．根据全等三角形的对应边相等等量代换即可得出结论．

试题解析：

（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠ACB＝60°．

∵DG∥AB，

∴∠DGC＝∠B．

∴∠DGC＝∠DCG＝60°．

∴△DGC是等边三角形．

∴DC＝DG，∠CDG＝60°，

∵△DEF是等边三角形，

∴DE＝DF，∠EDF＝60°

∴∠EDG＝60°－∠GDF，∠FDC＝60°－∠GDF，

∴∠EDG＝∠FDC，

∴△EDG≌△FDC．

∴FC＝EG．

（2）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠ACB＝60°．

如图2，过点D作DG∥AB，DG交BC于点G．

∴∠DGC＝∠B＝60°．

∴∠DGC＝∠DCG＝60°

∴△DGC是等边三角形．

∴CD＝DG＝CG，∠CDG＝60°，

∵△DEF是等边三角形，

∴DE＝DF，∠EDF＝60°，

∴∠EDG＝60°－∠CDE，∠FDC＝60°－∠CDE，

∴∠EDG＝∠FDC．

∴△EDG≌△FDC．

∴EG＝FC．

∵CG＝CE＋EG，

∴CG＝CE＋FC．

∴CD＝CE＋FC．

（3）解：如图3，猜想DC、EC、FC之间的等量关系是FC＝DC＋EC．

证明如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠ACB＝60°．

过点D作DG∥AB，DG交BC于点G．

∴∠DGC＝∠B．

∴∠DGC＝∠DCG＝60°

∴△DGC是等边三角形．

∴CD＝DG＝CG，∠CDG＝60°．

∵△DEF是等边三角形，

∴DE＝DF，∠EDF＝60°，

∴∠EDG＝60°＋∠CDE，∠FDC＝60°＋∠CDE，

∴∠EDG＝∠FDC．

∴△EDG≌△FDC．

∴EG＝FC．

∵EG＝EC＋CG，

∴FC＝EC＋DC．