Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为AB边上的一动点（D不与A、B重合），过D作DE∥BC，交AC于点E．把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处．连接BA′，设AD=x，△ADE的边DE上的高为y．

（1）求出y与x的函数关系式；
（2）若以点A′、B、D为顶点的三角形与△ABC 相似，求x的值；
（3）当x取何值时，△A′DB是直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，

过A点作AM⊥BC，垂足为M，交DE于N点，则BM= BC=3，

∵DE∥BC，

∴AN⊥DE，即y=AN．

在Rt△ABM中，AM= =4，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴ = ，

∴ = ，

∴y= （0＜x＜5）

（2）

解：∵△A'DE由△ADE折叠得到，

∴AD=A'D，AE=A'E，

∵由（1）可得△ADE是等腰三角形，

∴AD=AE，

∴A'D=A'E，

∴四边形ADA'E是菱形，

∴AC∥D A'，

∴∠BDA'=∠BAC，

又∵∠BAC≠∠ABC，

∴∠BDA'≠∠ABC，

∵∠BAC≠∠C，

∴∠BDA'≠∠C，

∴有且只有当BD=A'D时，△BDA'∽△BAC，

∴当BD=A'D，即5﹣x=x时，x=

（3）

解：第一种情况：∠BDA'=90°，

∵∠BDA'=∠BAC，而∠BAC≠90°，

∴∠BDA'≠90°．

第二种情况：∠BA'D=90°，

∵在Rt△BA'D中，DB2﹣A'D2=A'B2，

在Rt△BA'M中，A'M2+BM2=A'B2，

∴DB2﹣A'D2=A'M2+BM2，

∴（5﹣x）2﹣x2=（4﹣ x）2+（3）2，

解得x= ；

第三种情况：∠A'BD=90°，

∵∠A'BD=90°，∠AMB=90°，

∴△BA'M∽△ABM，

即 = ，∴BA'= ，

在Rt△D BA'中，DB2+A'B2=A'D2，

（5﹣x）2+ =x2，

解得：x= ．

综上可知当x= 或 时，△A'DB是直角三角形

【解析】（1）先过A点作AM⊥BC，得出BM= BC=3，再根据DE∥BC，得出AN⊥DE，即y=AN，再在Rt△ABM中，求出AM的值，再根据DE∥BC，求出△ADE∽△ABC，即可求出y与x的函数关系式；（2）根据△A'DE由△ADE折叠得到，得出AD=A'D，AE=A'E，再由（1）可得△ADE是等腰三角形，得出AD=A'D，AE=A'E，即可证出四边形ADA'E是菱形，得出∠BDA'=∠BAC，再根据∠BAC≠∠ABC，∠BAC≠∠C，得出∠BDA'≠∠ABC，∠BDA'≠∠C，从而证出△BDA'∽△BAC，即可求出x的值；（3）先分三种情况进行讨论；第一种情况当∠BDA′=90°，得出∠BDA'≠90°；第二种情况当∠BA'D=90°，根据∠BAM＜90°，∠BA'D＜∠BAM，可得∠BA'D≠90°；第三种情况当∠A'BD=90°，根据∠A'BD=90°，∠AMB=90°，得出△BA'M∽△ABM，即可求出BA′的值，再在Rt△D BA'中，根据DB2+A'B2=A'D2 ， 求出x的值，即可证出△A′DB是直角三角形；
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角），以及对翻折变换（折叠问题）的理解，了解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．