Question

【题目】(1)如图1，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．填空：∠MON=　 　；

(2)如图2，∠AOB=90°，∠BOC=x ，仍然分别作∠AOC、∠BOC的平分线OM、ON，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值；若不能，说明理由．

(3)如图3，若∠AOB=α，∠BOC=β(α、β均为锐角，且α＞β)，仍然分别作∠AOC、∠BOC的平分线OM、ON，能否求出∠MON的度数．若能，求∠MON的度数．

(4)从(1)、(2)、(3)的结果中，你发现了什么规律？

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）能，；（3）能，；（4）

【解析】

（1）根据题意可知，∠AOC=120°，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOC；推出∠MOC=∠AOC=60°，∠CON= ∠BOC=15°，由图形可知，∠MON=∠MOC-∠CON，即可求出∠MON=45°；
（2）根据（1）的求解思路，先利用角平分线的定义表示出∠MOC与∠NOC的度数，然后相减即可得到∠MON的度数；
（3）用α、β表示∠MOC，∠NOC，根据∠MON=∠MOC-∠NOC得解．
（4）由（1）、（2）、（3）的结果中，∠MON的度数与∠BCO无关，∠MON= ．

（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，

∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°，

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，

∴∠MOC=∠AOC=60°，∠CON= ∠BOC=15°，

∴∠MON=∠MOC-∠CON=60°-15°=45°；

（2）能．

∵∠AOB=90°，∠BOC=x，

∴∠AOC=90°+x，

∵OM、ON分别平分∠AOC，∠BOC，

∴∠MOC= ∠AOC= （90°+x°）=45°+ x，

∴∠CON= ∠BOC= x，

∴∠MON=∠MOC-∠CON=45°+ x- x=45°．

（3）∵∠AOB=α，∠BOC=β，

∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，

∵OM平分∠AOC，

∴∠MOC= ∠AOC= （α+β），

∵ON平分∠BOC，

∴∠NOC= ∠BOC= ，

∴∠MON=∠MOC-∠NOC= （α+β）-=．

（4）规律：∠MON的度数与∠BCO无关，∠MON=．理由如下：

∵∠AOB=α，∠BOC=β，

∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，

∵OM平分∠AOC，

∴∠MOC=∠AOC=（α+β），

∵ON平分∠BOC，

∴∠NOC=∠BOC=，

∴∠MON=∠MOC-∠NOC=（α+β）-=．