Question

【题目】如图1，E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC所在直线上一点，且D与C不重合，若EC=ED．则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心．
在平面直角坐标系xOy中，
（1）已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为（2，0），点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，反称点D在直线OC上．
①如图2，若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的坐标：___.
②若AE=2，求点C关于等边三角形AOC的反称点D的坐标；
（2）若等边三角形ABC的顶点为B（n，0），C（n+1，0），反称中心E在直线AB上，反称点D在直线BC上，且2≤AE＜3．请直接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围:P_____(用含n的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）①（-1，0）②D（-2，0）；（2）n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．

【解析】

（1）①过点E作EF⊥OC，垂足为F，根据等边三角形的性质可得DF=FC=，OF=，即可求OD=1，即可求点D坐标；
②分点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上两种情况讨论，根据反称点定义可求点D的坐标；
（2）分点E在点E在AB的延长线上或在BA的延长线上，根据平行线分线段成比例的性质，可求CF=DF的值，即可求点D的横坐标t的取值范围．

（1）①如图，过点E作EF⊥OC，垂足为F，

∵EC=ED，EF⊥OC
∴DF=FC，
∵点C的坐标为（2，0），
∴AO=CO=2，
∵点E是AO的中点，
∴OE=1，
∵∠AOC=60°，EF⊥OC，
∴∠OEF=30°，
∴OE=2OF=1
∴OF=，
∵OC=2，
∴CF==DF，
∴DO=1
∴点D坐标（-1，0）
故答案为：（-1，0）
②∵等边三角形AOC的两个顶点为O（0，0），C（2，0），
∴OC=2．
∴AO=OC=2．
∵E是等边三角形AOC的边AO所在直线上一点，且AE=2，
∴点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上，
如图，若点E与坐标原点O重合，

∵EC=ED，EC=2，
∴ED=2．
∵D是边OC所在直线上一点，且D与C不重合，
∴D点坐标为（-2，0）
如图，若点E在边OA的延长线上，且AE=2，

∵AC=AE=2，
∴∠E=∠ACE．
∵△AOC为等边三角形，
∴∠OAC=∠ACO=60°．
∴∠E=∠ACE=30°．
∴∠OCE=90°．
∵EC=ED，
∴点D与点C重合．
这与题目条件中的D与C不重合矛盾，故这种情况不合题意，舍去，
综上所述：D（-2，0）
（2）∵B（n，0），C（n+1，0），
∴BC=1，
∴AB=AC=1
∵2≤AE＜3，
∴点E在AB的延长线上或在BA的延长线上，
如图点E在AB的延长线上，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BD

∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=，
∵AH⊥BC，EF⊥BD
∴AH∥EF
,
若AE=2，AB=1
∴BE=1，
∴=1
∴BH=BF=
∴CF==DF
∴D的横坐标为：n--=n-2，
若AE=3，AB=1
∴BE=2，
∴=
∴BF=2BH=1
∴CF=DF=2
∴D的横坐标为：n-1-2=n-3，
∴点D的横坐标t的取值范围：n-3＜t≤n-2，
如图点E在BA的延长线上，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BD，

同理可求：点D的横坐标t的取值范围：n+2≤t＜n+3，
综上所述：点D的横坐标t的取值范围：n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．
故答案为：n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．