Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，E是⊙O外一点，过点E作⊙O的两条切线ED、EB，切点分别为点D，B，连接AD并延长交BE延长线于点C，连接OE．
（1）试判断OE与AC的关系，并说明理由；
（2）填空： ①当∠BAC=时，四边形ODEB是正方形．
②当∠BAC=30°时， 的值为 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：OE∥AC，OE= AC，

理由：连接OD，

∵DE，BE是圆O的切线，

∴OD⊥DE，AB⊥BC，

∴∠ODE=∠ABC=90°，

∵OD=OB，OE=OE，

∴Rt△ODE≌Rt△OBE（HL）

∴∠1=∠2，

∵∠BOD=∠A+∠3，OA=OD，

∴∠A=∠3，

∴∠2=∠A，

∴OE∥AC，∵OA=OB，∴EC=EB，

∴OE是△ABC的中位线，

∴OE= AC，

（2）45°；4
【解析】解（2）①∵Rt△ODE≌Rt△OBE， ∴ED=EB，
∵∠A=45°，
∴∠DOB=90°，
∴∠DOB=∠ODE=∠B=90°，
∴四边形ODEB是正方形；
②过O作OH⊥AD于H，

∵∠A=30°，OA=OD，
∴∠3=∠A=30°，
∴OD= AD，
∵∠ODE=90°，∠1=∠3=30°，
∴OD= DE，
∴ AD= DE，
∵AD=nDE，
∴n=4．
所以答案是：45°，4．
【考点精析】通过灵活运用切线的性质定理和相似三角形的判定与性质，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．