Question

【题目】已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在射线AB、射线BC上，AE=BF，DE与AF交于点O.

（1）如图1，当点E、F分别在线段AB、BC上时，则线段DE与线段AF的数量关系是 ， 位置关系是.
（2）将线段AE沿AF进行平移至FG，连结DG.
①如图2，当点E在AB延长线上时，补全图形，写出AD，AE，DG之间的数量关系.
②若DG= ， ，直接写出AD长。

Answer 1

【答案】
（1）DE=AF；DE⊥AF
（2）

解：①如图2， DG2=2AD2+2AE

由题意得，AE=FG，AE∥FG，

∴四边形FAEG是平行四边形，

∴AF=EG，

由勾股定理得，DE2=AD2+AE2，

在△DAE和△ABF中，

，

∴△DAE≌△ABF，

∴DE=AF，DE⊥AF，

∴DE=EG，DE⊥EG，

∴DG2=2DE2，

∴DG2=2AD2+2AE2.

②由①得， ，

整理得AD2+AD-12=0

解得，AD1=3，AD2=-4（舍去）.

故AD长为3.

【解析】解：（1）在△DAE和△ABF中，

∴△DAE≌△ABF，
∴DE=AF，∠ADE=∠BAF，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BAF+∠AED=90°，即∠AOE=90°，
∴DE⊥AF，
所以答案是：DE=AF；DE⊥AF.
【考点精析】解答此题的关键在于理解正方形的性质的相关知识，掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．