Question

【题目】如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB= ，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，

∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AFO=∠CEO，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（AAS），

∴AF=CE，

∴AF=CF=CE=AE，

∴四边形AECF是菱形

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB= ，

在Rt△CDF中，cos∠DCF= ，∠DCF=30°，

∴CF= =2，

∵四边形AECF是菱形，

∴CE=CF=2，

∴四边形AECF是的面积为：ECAB=2

【解析】（1）首先根据线段垂直平分线的性质得到AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后再证明△AOF≌△COE，则可得AF=CE，从而可得到四边形的四条边都相等，故此可作出判断；
（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，最后依据菱形的面积=底×高求解即可.