Question

【题目】如图，在等腰中，，点在线段上运动(不与重合)，连结，作，交线段于点．

（1）当时，= °；点从点向点运动时，逐渐变 (填“大”或“小”)；

（2）当等于多少时，，请说明理由；

（3）在点的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）35°，小；（2）当DC=3时，△ABD≌△DCE，理由见解析；（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．

【解析】

（1）根据三角形内角和定理得到∠BAD=35°，点从点向点运动时，∠BAD变大，三角形内角和定理即可得到答案；
（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，得到∠ADB=∠DEC，根据AB=DC=2，证明△ABD≌△DCE；
（3）分DA=DE、AE=AD、EA=ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．

解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=105°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-105°-40°=35°，
∵点从点向点运动时，∠BAD变大，且∠BDA=180°-40°-∠BAD

∴逐渐变小

（2）当DC=3时，△ABD≌△DCE，
理由：∵AB=AC，
∴∠C=∠B=40°，

∴∠DEC+∠EDC=140°，
又∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=3，
在△ABD和△DCE中，

∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=70°，
∴∠BDA=∠DAE+∠C=70°+40°=110°；
当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°，
∴∠DAE=100°，
此时，点D与点B重合，不合题意；
当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=40°，
∴∠AED=100°，
∴EDC=∠AED-∠C=60°，
∴∠BDA=180°-40°-60°=80°
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．