Question

【题目】如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AE⊥AC，BD垂直平分AC，

∴AE∥BD，

∵∠ADE=∠BAD，

∴DE∥AB，

∴四边形ABDE是平行四边形

（2）解：∵DA平分∠BDE，

∴∠BAD=∠ADB，

∴AB=BD=5，

设BF=x，

则52﹣x2=62﹣（5﹣x）2，

解得，x= ，

∴AF= = ，

∴AC=2AF= ．

【解析】（1）根据已知和角平分线的定义证明∠ADE=∠BAD，得到DE∥AB，又AE∥BD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；（2）设BF=x，根据勾股定理求出x的值，再根据勾股定理求出AF，根据AC=2AF得到答案
【考点精析】利用平行四边形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积．