Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=10，BC=12，BC边上的中线AD=8．
（1）证明：△ABC为等腰三角形；
（2）点H在线段AC上，试求AH+BH+CH的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AD是BC边上的中线，

∴BD=DC=6．

在△ABD中，BD2+AD2=62+82=102=AB2，

∴△ABD为直角三角形．

∴∠ADB=90°．

∴AD⊥BC．

∵AD⊥BC，BD=DC，

∴AB=AC．

∴△ABC为等腰三角形．

（2）解：∵AH+BH+CH=AC+BH=10+BH，

∴当BH最小时，AH+BH+CH有最小值．

由垂线段的性质可知当BH⊥AC时，BH有最小值．

∴ BHAC= BCAD，即 ×10BH= ×12×8，

解得：BH=9.6．

∴AH+BH+CH的最小值=10+9.6=19.6．

【解析】（1）由三角形的中线的定义可知BD=DC=6，然后依据勾股定理的逆定理可证明△ABD为直角三角形，故此AD⊥BC，则AD为BC的垂直平分线，依据线段垂直平分线的性质可知AB=AC；（2）由题意可得到CH+AC=AC=10，故此当BH最小时，AH+BH+CH有最小值，依据垂线段的性质可知当BH⊥AC时，BH有最小值，在△ABC中，依据面积法可求得BH的最小值．