Question

【题目】如图，四边形ABCD是矩形，将一块正方形纸板OEFG如图1摆放，它的顶点O与矩形ABCD的对角线交点重合，点A在正方形的边OG上，现将正方形绕点O逆时针旋转，当点B在OG边上时，停止旋转，在旋转过程中OG交AB于点M，OE交AD于点N．

(1)开始旋转前，即在图1中，连接NC．

①求证：NC=NA（M）；

②若图1中NA（M）=4，DN=2，请求出线段CD的长度．

(2)在图2（点B在OG上）中，请问DN、AN、CD这三条线段之间有什么数量关系？写出结论，并说明理由．

（3）试探究图3中AN、DN、AM、BM这四条线段之间有什么数量关系？写出结论，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②；（2）ND2=NA2+CD2，证明见解析；（3）DN2+BM2=AM2+AN2，证明见解析.

【解析】试题分析：（1）①由矩形的对角线互相平分得OA=OC，根据正方形的内角都是直角，得∠EOG=90°，用线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等即可得；②用勾股定理计算即可；（2）连接BN，方法同（1）得到NB=ND，再用勾股定理即可；（3）延长GO交CD于H，连接MN，HN，先判断出BM=DH，OM=OH，再和前两个一样，得出MN=NH，再用勾股定理即可．

解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，

∵四边形EFGO为正方形，∴∠EOG=90°，

∴NC=NA；

②由①得，NA=NC=4，DN=2，

根据勾股定理得CD==；

（2）结论：ND2=NA2+CD2，连接NB，

∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，AB=CD，

∵四边形EFGO为正方形，∴∠EOG=90°，

∴ND=NB.

根据勾股定理得NB2=NA2+AB2=NA2+CD2=ND2；

（3）结论AN2+AM2=DN2+BM2，

延长GO交CD于H，连接MN，HN，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OB=OD，∠OBM=∠ODH，

又∵∠BOM=∠DOH，

∴△BOM≌△DOH，

∴BM=DH，OM=OH，

∵四边形EFGO是正方形，

∴∠EOG=90°，

∴MN=NH，

在Rt△NDH中，NH2=DN2+DH2=DN2+BM2，

在Rt△AMN中，MN2=AM2+AN2，

∴DN2+BM2=AM2+AN2．