【题目】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，求证：ME＝CF.

参考答案：

【答案】证明见解析.

【解析】试题分析：延长FE到N，使NE=EF，连接AN、BN，判断出△BNF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BN=BF，再求出∠CBF=∠ABN，然后利用“边角边”证明△ABN和△CBF全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=CF，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得ME=AN，从而得到ME=CF．

试题解析：如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.易得ME＝AN.

∵EF＝EN，∠BEF＝90°，∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN.

∴∠BNF＝∠BFN.∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，

∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，

∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.

又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，

∴∠CBF＝∠ABN.在△BCF和△BAN中，

∴△BCF≌△BAN.

∴CF＝AN.∴ME＝AN＝CF.

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