Question

【题目】如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．

(1)求证：PM＝PN；

(2)求∠MPN的度数．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；(2) ∠MPN＝120°.

【解析】试题分析：（1）连接CD、AE,由△ABD和△BCE是等边三角形得AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，易证△ABE≌△DBC，得AE＝DC，再由三角形中位线的性质可证PM＝PN；

（2）如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H，易证四边形PFHG为平行四边形，故∠MPN＝120°.

试题解析：(1)如图，连接CD，AE.由三角形中位线定理可得PM=CD，PN=AE，∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBC.

∴△ABE≌△DBC，∴AE＝DC.∴PM＝PN.

(2)如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H.由(1)知△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.

∴∠AHD＝∠ABD＝60°，∴∠FHG＝120°.

易证四边形PFHG为平行四边形，∴∠MPN＝120°.