Question

【题目】已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则x12+x22的最大值是（　　）
A.19
B.18
C.15
D.13

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由方程有实根，得△≥0，即（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0
所以 3k2+16k+16≤0，
所以 （3k+4）（k+4）≤0
解得﹣4≤k≤﹣ ．
又由x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，得
x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣（k+5）2 ，
当k=﹣4时，x12+x22取最大值18．
故选：B．
【考点精析】利用根与系数的关系和二次函数的最值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．