Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，则当t=_________秒时，△PEC与△QFC全等．

Answer 1

【答案】1或或12

【解析】根据题意化成三种情况，根据全等三角形的性质得出CP=CQ，代入得出关于t的方程，求出即可．

解：分为三种情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上，

∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC=∠QFC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°，
∴∠EPC=∠QCF，
则△PCE≌△CQF，
∴PC=CQ，
即6-t=8-3t，
t=1；
②如图2，P在BC上，Q在AC上，

∵由①知：PC=CQ，
∴t-6=3t-8，
t=1；
t-6＜0，即此种情况不符合题意；
③当P、Q都在AC上时，如图3，

CP=6-t=3t-8，t=；
④当Q到A点停止，P在BC上时，AC=PC，t-6=6时，解得t=12．

P和Q都在BC上的情况不存在，∵P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm；
故答案为：1或或12．

“点睛”本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．