Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）当动点P运动到何处时，BP2=BDBC；
（3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，得 ，

解得 ，

∴抛物线的解析式为y= ﹣x﹣4

（2）解：设点P运动到点（x，0）时，有BP2=BDBC，

令x=0时，则y=﹣4，

∴点C的坐标为（0，﹣4）．

∵PD∥AC，

∴△BPD∽△BAC，

∴ ．

∵BC= = =2 ，

AB=6，BP=x﹣（﹣2）=x+2．

∴BD= = = ．

∵BP2=BDBC，

∴（x+2）2= ×2 ，

解得x1= ，x2=﹣2（﹣2不合题意，舍去），

∴点P的坐标是（ ，0），即当点P运动到（ ，0）时，BP2=BDBC

（3）解：∵△BPD∽△BAC，

∴ ，

∴ ×

S△PDC=S△PBC﹣S△PBD= ×（x+2）×4﹣

∵ ，

∴当x=1时，S△PDC有最大值为3．

即点P的坐标为（1，0）时，△PDC的面积最大．

【解析】（1）利用待定系数法把AB坐标代入解析式即可；（2）先由PD∥AC可得△BPD∽△BAC，得出比例式，用x的式子表示BD，代入到 BP2=BDBC
求出x；（3）用作差法表示△PCD的面积，即S△PDC=S△PBC﹣S△PBD，构建出二次函数，用配方法求出最值.