Question

【题目】如图，在直角坐标平面内，直线y=－x+5与 轴和 轴分别交于A、B两点，二次函数y= +bx+c的图象经过点A、B，且顶点为C．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求sin∠OCA的值；
（3）若P是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且 ABP的面积为10，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由直线y=－x+5得点B（0，5），A（5，0），将A、B两点的坐标代入 ，

得 ，解得 ∴抛物线的解析式为

（2）解：过点C作CH⊥x轴交x轴于点H

把 配方得 ∴点C（3，-4），

∴CH=4，AH=2，AC= ∴OC=5， ∵OA=5 ∴OA=OC ∴∠OAC=∠OCA

sin∠OCA=sin∠OAC=

（3）解：过P点作PQ x轴并延长交直线y=－x+5于Q

设点P（m， －6m+5），Q（m，-m+5） ∴PQ=－m+5－（ －6m+5）=－ +5m

∵

∴

∴ ∴

∴P（1，0）（舍去），P（4，-3）

【解析】（1）根据直线y=－x+5与 轴和 轴分别交于A、B两点，求出A,B两点的坐标，然后将A、B两点的坐标代入 ，得出关于c,b的方程组，解出方程组，求出c,b的值就能求出抛物线的解析式了；
（2）过点C作CH⊥x轴交x轴于点H 将抛物线配方成顶点式，得出顶点C的坐标，从而得出CH,AH,的长，根据勾股定理得出AC，OC的长，进而判断出OA=OC 根据等边对等角得出∠OAC=∠OCA，然后根据等角的同名三角函数值相等得出答案；
（3）过P点作PQ x轴并延长交直线y=－x+5于Q，设点P（m， m 2 －6m+5），Q（m，-m+5） ∴PQ=－m+5－（ m 2 －6m+5）=－ m 2 +5m，根据 列出方程求解就能得出m的值，从而得出P点的坐标。