Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝6．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧，设运动的时间为t秒（）．

（1）当t= 时，等边△EFG的边FG恰好经过点C时；

（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝2；

（2）当0≤t＜2时，S= 4t＋16；当2≤t＜6时，S= t 2+6t＋；当6≤t＜8时，S= －8t＋80；当8≤t＜12时，S=t2－24t＋144；

（3）存在5个这样的值，使△AOH是等腰三角形，即： t=6－2或t=6＋2或t=4或t=8或t=0．

【解析】试题分析：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=6-t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值；（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t<2，2≤t<6，6≤t<8，8≤t<12四种情况，分别写出函数关系式；（3）存在．当△AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=6，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值．

试题解析：(1)当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=6t，

在Rt△CBF中，BC=2，

∴tan∠CFB=，

∴tan60°=，

∴=，

∴t=4，

∴当边FG恰好经过点C时，时间为t=4，

(2)如图1，

过点M作MN⊥AB，

①当0t<2时，如图1，

∵tan60°===，

∴NE=4，

∵EB=6+t，NB=6+t4=2+t，

∴MC=2+t，

∴S= (MC+EB)×BC= (2+t+6+t)×4=4t+16；

②当2t<6时，如图2，

∵MN=4，EF=OP=12，

∴GH=12×=6，

∴ =，

∴MK=4，

∵EB=6+t,BF=6t,BQ=，

∴BQ= (6t),CQ=4BQ=t2.

∴S=S梯形MKFES△QBF=(MK+EF)×MNBF×BQ==t2+6t+14；

③如图3，

当6t<8时，

∵MN=4,EF=122(t6)=242t，

∴GH=(242t)×= (12t)，

∴ =，

∴MK=162t，

∴S= (MK+EF)×MN= (162t+242t)×4=8t+80；

④如图4，

当8t<12时，

∵EF=242t,高为：EF×sin60°=EF= (242t)

S=EF×EF= (242t) 2 =t224t+144

(3)存在，理由如下：

在Rt△ABC中,tan∠CAB= =，

∴∠CAB=30°.

又∵∠HEO=60°，

∴∠HAE=∠AHE=30°.

∴AE=HE=6t或t6.

(Ⅰ)当AH=AO=6时，如图5，

过点E作EM⊥AH于M,则AM=AH=3.

在Rt△AME中,cos∠MAE=，

∴AE=2，

即6t=2或t6=2,t=62或6+2.

(Ⅱ)当HA=HO时，如图6，

则∠HOA=∠HAO=30°，

又∵∠HEO=60°，

∴∠EHO=90°.

∴EO=2HE=2AE.

又∵AE+EO=6，

∴AE+2AE=6.

∴AE=2.

即6t=2或t6=2，

t=4或8.

(Ⅲ)当OH=OA时，如图7，

则∠OHA=∠OAH=30°，

∴∠HOB=60°=∠HEB.

∴点E和O重合，

∴AE=6.

即6t=6或t6=6，

t=12(舍去)或t=0.

综上所述,存在5个这样的值,使△AOH是等腰三角形,即：t=62或t=6+2或t=4或t=8或t=0.