Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切．
（1）求证：OB⊥OC；
（2）若AD=12，∠BCD=60°，⊙O1与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O1的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切，

∴AB，BC，CD均与半圆O相切，

∴∠ABO=∠CBO，∠DCO=∠BCO．

又∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

即∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠DCO=180°．

∴2∠CBO+2∠BCO=180°，

于是∠CBO+∠BCO=90°，

∴∠BOC=180°﹣（∠CBO+∠BCO）=180°﹣90°=90°，

即OB⊥OC

（2）解：设CD切⊙O1于点M，连接O1M，则O1M⊥CD．

设⊙O1的半径为r．

∵∠BCD=60°，且由（1）知∠BCO=∠O1CM，

∴∠O1CM=30°．

在Rt△O1CM中，CO1=2r，O1M=r．

在Rt△OCD中，OC=2OD=AD=12．

∵⊙O1与半圆O外切，

∴OO1=6+r，于是，

由OO1+O1C=OC，即6+r+2r=12，

解得r=2，

因此⊙O1的面积为4π．

【解析】（1）证明两个锐角的和等于90°即可；（2）求得⊙O1的半径后代入圆的面积公式求得其面积即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直角梯形和相切两圆的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一腰垂直于底的梯形是直角梯形；如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线．