Question

【题目】如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“顺子数”，例如：630，123．

如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的积的算术平方根，我们称这个三位数为“和谐数”，例如：139，124．

（1）若三位数是“顺子数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得一元二次方程（a﹣5）x2+2ax+a﹣6=0有实数根，求这个“顺子数”；

（2）若三位数既是“顺子数”又是“和谐数”，请探索a，b，c三者的关系．

Answer 1

【答案】（1）这个“顺子数”为333或432或630；（2）a=b=c.

【解析】

（1）根据根的判别式求出实数的取值范围，各位数字之和大于7小于10，则a+b+c=8或a+b+c=9，再根据“顺子数”的定义得到即可得出a+c=6，分类讨论即可.

（2）根据“顺子数”，“和谐数”的定义得到ac=b2，a+c=2b，整理即可.

（1）根据题意得：△=（2a）2﹣4（a﹣5）（a﹣6）≥0且

解得：且

∵各位数字之和大于7小于10，

∴a+b+c=8或a+b+c=9，

又∵

∴a+c=（舍去）或a+c=6，

若a=3，则c=3，b=3，该数为333，

若a=4，则c=2，b=3，该数为432，

若a=6，则c=0，b=3，该数为630，

答：这个“顺子数”为333或432或630，

（2）根据题意得：

ac=b2，a+c=2b，

把代替ac=b2，得：

整理得：a=c，

答：a，b，c三者的关系为：a=b=c．