Question

【题目】如图，在直角坐标平面中，O为原点，点A的坐标为（20，0），点B在第一象限内，BO＝10，sin∠BOA＝．

(1)在图中，求作△ABO的外接圆；（尺规作图，不写作法但需保留作图痕迹）

(2)求点B的坐标与cos∠BAO的值；

(3)若A，O位置不变，将点B沿轴正半轴方向平移使得△ABO为等腰三角形，请直接写出平移距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）cos∠BAO=；（3）当点B沿x轴正半轴方向平移2个单位、（2+12）个单位，或（2﹣8）个单位时，△ABO为等腰三角形．

【解析】试题分析：（1）作OB，AB的垂直平分线交于一点M，以点M为圆心，MA为半径画圆，则圆M即为所求；

（2）如图，作BH⊥OA，垂足为H，在Rt△OHB中，由BO=10，sin∠BOA=，得到BH=6，OH=8，求出点B的坐标为（8，6），根据OA=20，OH=8，求出AH=12，在Rt△AHB中，由BH=6，得到AB==6，求出cos∠BAO==；

（3）①当BO=AB时，由AO=20，得到OH=10，点B沿x轴正半轴方向平移2个单位；

②当AO=AB′时，由AO=20，得到AB′=20，过B′作B′N⊥x轴，由点B的坐标为（8，6），得到B′N=6，AN==2．求得点B沿x轴正半轴方向平移（2+12）个单位，

③当AO=OB″时，由AO=20，得到OB″=20，过B″作B″P⊥x轴．由B的坐标为（8，6），得到B″P=6，OP==2，点B沿x轴正半轴方向平移（2﹣8）个单位．

解：（1）如图所示：

（2）如图，作BH⊥OA，垂足为H，

在Rt△OHB中，∵BO=10，sin∠BOA=，

∴BH=6，

∴OH=8，∴点B的坐标为（8，6），

∵OA=20，OH=8，∴AH=12，

在Rt△AHB中，∵BH=6，

∴AB==6

∴cos∠BAO==；

（3）①当BO=AB时，∵AO=20，∴OH=10，

∴点B沿x轴正半轴方向平移2个单位，

②当AO=AB′时，∵AO=20，∴AB′=20，

过B′作B′N⊥x轴，

∵点B的坐标为（8，6），

∴B′N=6，∴AN==2．

∴点B沿x轴正半轴方向平移（2+12）个单位，

③当AO=OB″时，

∵AO=20，

∴OB″=20，

过B″作B″P⊥x轴．

∵B的坐标为（8，6），

∴B″P=6，

∴OP==2，

∴点B沿x轴正半轴方向平移（2﹣8）个单位，

综上所述当点B沿x轴正半轴方向平移2个单位、（2+12）个单位，或（2﹣8）个单位时，△ABO为等腰三角形．