Question

【题目】如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．

（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；

（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；

（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）PN与⊙O相切．证明见解析；（2）成立．证明见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）根据切线的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA进而求出即可；

（2）根据已知得出∠PNM+∠ONA=90°，进而得出∠PNO=180°-90°=90°即可得出答案；

（3）首先根据外角的性质得出∠AON=60°进而利用扇形面积公式得出即可．

试题解析：（1）PN与⊙O相切．

证明：连接ON，

则∠ONA=∠OAN，

∵PM=PN，

∴∠PNM=∠PMN，

∵∠AMO=∠PMN，

∴∠PNM=∠AMO，

∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°，

即PN与⊙O相切．

（2）成立．

证明：连接ON，

则∠ONA=∠OAN，

∵PM=PN，

∴∠PNM=∠PMN，

在Rt△AOM中，∠OMA+∠OAM=90°，

∴∠PNM+∠ONA=90°．

∴∠PNO=180°-90°=90°．

即PN与⊙O相切．

（3）连接ON，

由（2）可知∠ONP=90°．

∵∠AMO=30°，PM=PN，

∴∠PNM=30°，∠OPN=60°，

∴∠PON=30°，∠AON=60°，

作NE⊥OD，垂足为点E，

则NE=ONsin30°=1×=，

S阴影=S△AOC+S扇形AON-S△CON

=OCOA+×π×12-CONE

=×1×1+π-×1×

=+π．