Question

【题目】如图，已知直线AB与x轴、y轴分别交于点A和点B，OA=4，且OA，OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根，以OB为直径的⊙M与AB交于C，连接CM，交x轴于点N，点D为OA的中点．

（1）求证：CD是⊙M的切线； （2）求线段ON的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2） NO=．

【解析】试题分析：（1）由OA、OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根，OA=4，则OA×OB=12，根据根与系数的关系可得OB=3，即可得⊙M的半径为1.5；因BM=CM=1.5，根据等腰三角形的性质可得∠OBA=∠BCM；连结OC，OB是⊙M的直径，则∠ACO=90°，D为OA的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得OD=AD=CD=2， 根据等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ACD，又因∠OAC+∠OBA=90°，即可得∠BCM+∠ACD=90°，由此即可判定CD是⊙M的切线．（2）先判断△NOM∽△NCD，根据相似三角形的性质求解即可.

试题解析：

（1）OA、OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根，OA=4，则OA×OB=12，

得OB=3，⊙M的半径为1.5；

∵BM=CM=1.5，

∴∠OBA=∠BCM．

连结OC，OB是⊙M的直径，则∠ACO=90°，D为OA的中点，

∴OD=AD=CD=2，

∴∠OAC=∠ACD，

又∵∠OAC+∠OBA=90°，

∴∠BCM+∠ACD=90°，

∴∠NCD=90°，

∴CD是⊙M的切线．

（2）∵∠CND=∠CND，∠NOM=∠NCD=90°，

∴△NOM∽△NCD，

∴=，即=，

∴NO=．