Question

【题目】我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．

如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．

（1）如图1，如果抛物线y=x 2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么

①a= ，b= ．

②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（ ）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．

（3）如果抛物线的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为，请直接写出点B的坐标．

Answer 1

【答案】（1）①a=1，b=2；②D；（2）4；（3）（，1），（，1）．

【解析】

试题分析：本题综合考查的是考生的作图能力以及二次函数的灵活运用,难度较大．

（1）已知F2的解析式，把已知坐标代入即可得出a、b的值；

（2）在（1）的基础上求出S四边形ABCD；

（3）要分情况讨论点B在点A的左边还是右边，直接写出点B的坐标即可．

试题解析：解：（1）①a=1，b=2．

②D．

（2）∵B（2，c－1），

∴AC=2×2=4．

∵当x=0，y=c，

∴A（0，c）．

∵F1：y=ax2+c，B（2，c－1）．

∴设F2：y=a（x－2）2+c－1．

∵点A（0，c）在F2上，

∴4a+c－1=c，

∴．

∴BD=（4a+c）－（c－1）=2．

∴S四边形ABCD=4．

（3）（，1），（，1）．

说明：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。