Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．
光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．
（1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线；
（2）当⊙O的半径为1时，如图3，
①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照射在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为；
②自点A（﹣1，0）出发的入射光线，在⊙O内不断地反射．若第1个反射点P1在第二象限，且第12个反射点P12与点A重合，则第1个反射点P1的坐标为
（3）如图4，点M的坐标为（0，2），⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）答案如图：

（2）

①由题意：∠1=∠2，∠APB=90°，
∴∠1=45°，
∴反射光与切线的夹角为45°．
②由题意：这些反射点组成的多边形是正十二边形，
∴入射光线与反射光线夹角为150°，
∴∠AOP1=30°，∵OP1=1，
∴P1（﹣，）．
（3）如图：

当反射光PA∥X轴时，反射光线与坐标轴没有交点．
作PD⊥OC，PN⊥OM垂足分别为M，N，设PD=m．
∵∠GPO=∠HPA，∠GPC=∠HPC=90°，
∴∠OPC=∠APC=∠PCO，∴OP=OC，
在RT△PON中，∵ON=PD=m，PN2=1﹣（2﹣m）2 ，
∴PO2=m2+1﹣（2﹣m）2 ，
∵PD∥OM，∵，∴CP=，
CD2=（）2﹣m2 ，
∴OC=ON+CD，
OC2=（+）2 ，
由：PO2=OC2得到：（）2﹣m2=（+）2 ，
∴m1=2﹣，（m2=2+，m3=4，不合题意舍弃），
∴根据左右对称性得到：满足条件的反射点P的纵坐标：1．
【解析】（1）（2）两个问题，要根据题意，画出图象，可以解决．
（3）当反射光线平行X轴时，反射光线与坐标轴没有交点，只要求出这样的反射点，就可以解决这个问题了．