Question

【题目】已知抛物线y=x2+（2m+1）x+m（m﹣3）（m为常数，﹣1≤m≤4）．A（﹣m﹣1，y1），B（，y2），C（﹣m，y3）是该抛物线上不同的三点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点O逆时针旋转90°得到直线a，过抛物线顶点P作PH⊥a于H．

（1）用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；

（2）若无论m取何值，抛物线与直线y=x﹣km（k为常数）有且仅有一个公共点，求k的值；

（3）当1＜PH≤6时，试比较y1，y2，y3之间的大小．

Answer 1

【答案】（1）顶点坐标（﹣，﹣）；（2）k=3；（3）﹣1≤m＜﹣或＜m≤时，有y2＞y1=y3，﹣＜m＜﹣时，有y2＜y1=y3．

【解析】

试题分析：（1）根据顶点坐标公式表示出顶点坐标即可；（2）把两个解析式联立后得一个一元二次方程，利用△=0即可求k值；（3）首先证明y1=y3，再根据点B的位置，分类讨论，①令＜﹣m﹣1，求出m的范围即可判断，②令=﹣m﹣1，则A与B重合，此情形不合题意，舍弃．③令＞﹣m﹣1，求出m的范围即可判断，④令﹣≤＜﹣m，求出m的范围即可判断，⑤令=﹣m，B，C重合，不合题意舍弃．⑥令＞﹣m，求出m的范围即可判断．

试题解析：（1）∵﹣=﹣， =﹣，

∴顶点坐标（﹣，﹣）．

（2）由消去y得x2+2mx+（m2+km﹣3m）=0，

∵抛物线与x轴有且仅有一个公共点，

∴△=0，即（k﹣3）m=0，

∵无论m取何值，方程总是成立，

∴k﹣3=0，

∴k=3，

（3）PH=|﹣﹣（﹣）|=||，

∵1＜PH≤6，

∴当＞0时，有1＜≤6，又﹣1≤m≤4，

∴＜m≤，

当＜0时，1＜﹣≤6，又∵﹣1≤m≤4，

∴﹣1，

∴﹣1≤m＜﹣或＜m≤，

∵A（﹣m﹣1，y1）在抛物线上，

∴y1=（﹣m﹣1）2+（2m+1）（﹣m﹣1）+m（m+3）=﹣4m，

∵C（﹣m，y3）在抛物线上，

∴y3=（﹣m）2+（2m+1）（﹣m）+m（m﹣3）=﹣4m，

∴y1=y3，

①令＜﹣m﹣1，则有m＜﹣，结合﹣1≤m≤﹣，

∴﹣1≤m＜﹣，

此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，如图1，

∴y2＞y1=y3，

即当﹣1≤m＜﹣时，有y2＞y1=y3．

②令=﹣m﹣1，则A与B重合，此情形不合题意，舍弃．

③令＞﹣m﹣1，且≤﹣时，有﹣＜m≤﹣，结合﹣1≤m＜﹣，

∴﹣＜m≤﹣，

此时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，如图2，

∴y1=y3＞y2，

即当﹣＜m≤﹣时，有y1=y3＞y2，

④令﹣≤＜﹣m，有﹣≤m＜0，结合﹣1≤m＜﹣，

∴﹣≤m＜﹣，

此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，如图3，

∴y2＜y3=y1．

⑤令=﹣m，B，C重合，不合题意舍弃．

⑥令＞﹣m，有m＞0，结合＜m≤，

∴＜m≤，

此时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，如图4，

∴y2＞y3=y1，

即当＜m≤时，有y2＞y3=y1，

综上所述，﹣1≤m＜﹣或＜m≤时，有y2＞y1=y3，

﹣＜m＜﹣时，有y2＜y1=y3．