Question

【题目】钝角三角形ABC中，∠BAC＞90°，∠ACB=α，∠ABC=β，过点A的直线l交BC边于点D．点E在直线l上，且BC=BE．

（1）若AB=AC，点E在AD延长线上．
当α=30°，点D恰好为BE中点时，补全图1，直接写出∠BAE=°，
∠BEA=°；
（2）如图2，若∠BAE=2α，求∠BEA的度数（用含α的代数式表示）；
（3）如图3，若AB＜AC，∠BEA的度数与（1）中②的结论相同，直接写出∠BAE，α，β满足的数量关系．

Answer 1

【答案】
（1）60；30
（2）

解：如图2中，延长CA到F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=α，

∴∠MAB=2α，∵∠BAN=2α，

∴∠BAM=∠BAN，

∴BM=BN，

在Rt△BMF和Rt△BNE中，

，

∴Rt△BMF≌Rt△BNE．

∴∠BEA=∠F，

∵BF=BC，

∴∠F=∠C=α，

∴∠BEA=α

（3）

解：结论：∠BAE=α+β．理由如下，

如图3中，连接EC，

∵∠ACD=∠BED=α，∠ADC=∠BDE，

∴△ADC∽△BDE，

∴ = ，

∴ = ，∵∠ADB=∠CDE，

∴△ADB∽△CDE，

∴∠BAD=∠DCE，

∠ABD=∠DEC=β，

∵BC=BE，

∴∠BCE=∠BEC，

∴∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β

【解析】解：（1）补全图1，如图所示．

∵AB=AC，BD=DC，
∴AE⊥BC，
∴EB=EC，∠ADB=90°，
∵∠ABC=30°，
∴∠BAE=60°
∵BC=BE，
∴△BCE是等边三角形，∠DEB=∠DEC，
∴∠BEC=60°，∠BEA=30°
故答案为60，30．
（1）只要证明AE⊥BC，△BCE是等边三角形即可解决问题．（2）如图2中，延长CA到F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．
只要证明Rt△BMF≌Rt△BNE，推出∠BEA=∠F，由BF=BC，推出∠F=∠C=α，推出∠BEA=α即可．（3）如图3中，连接EC，由△ADC∽△BDE，推出 = ，推出 = ，由∠ADB=∠CDE，推出△ADB∽△CDE，推出∠BAD=∠DCE，∠ABD=∠DEC=β，由BC=BE，推出∠BCE=∠BEC，推出∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β．