Question

【题目】已知：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|c|>|a|．

（1）若|a+10|=20，b2=400，c的相反数是30，求a、b、c的值；

（2）在（1）的条件下，a、b、c分别是A、B、C点在数轴上所对应的数，

①线段AC的长是________，将数轴折叠使得点A和点C重合，则折痕处在数轴上表示的数是__________

②数轴上是否存在一点P，使得P点到C点的距离加上P点到A点的距离减去P点到B点的距离为50，即PC+PAPB=50?若存在，求出P点在数轴上所对应的数；若不存在，请说明理由；

③点C，B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点A以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得3CA+2mOB-mOA为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)a=10，b=20，c=-30；(2) ①40，-10；②存在；-90或；（2）存在m=9，定值是390.

【解析】

（1）利用绝对值的性质和数轴即可求出a，利用b2=400和数轴即可求出b，利用c的相反数即可求出c；

（2）①利用数轴上两点之间的距离公式即可求出AC，再利用中点公式即可求出折痕所表示的数；

②设P表示的数为，根据P点不同的位置及数轴上两点的距离公式分类讨论即可；

③设运动时间为t，利用数轴上两点之间的距离公式，表示出CA、OB、OA，将它们代入3CA+2mOB-mOA并化简，再根据其为定值，即与t值无关，令t的系数为0即可.

解：（1）∵|a+10|=20，b2=400，c的相反数是30

解得a＝﹣30或10，b＝±20，c＝﹣30

由数轴可知：a＞0，b＞0

∴a＝10，b＝20，c＝﹣30

（2）①根据数轴上两点之间的距离公式：AC=| a－c|=40；

若A、C两点重合，则折痕在数轴上所表示的点即为AC的中点，故折痕处在数轴上表示的数是；

②存在，求法如下

假设P点所表示的数为，

当P在C左侧时，即，如下图所示：

∴PC=﹣30－，PA=10－，PB=20－

根据PC+PAPB=50，

∴（﹣30－）＋（10－）－（20－）=50

解得：.

若P在C、A之间时，即，如下图所示：

∴PC=，PA=10－，PB=20－

根据PC+PAPB=50

（）＋（10－）－（20－）=50

解得：，不符合前提，故舍去；

若P在A、B之间时，即，如下图所示：

∴PC=，PA=，PB=20－

根据PC+PAPB=50

（）＋（）－（20－）=50

解得：；

若P在B右侧时，即，如下图所示：

∴PC=，PA=，PB=

根据PC+PAPB=50

（）＋（）－（）=50

解得：，不符合前提，故舍去；

综上所述：P点在数轴上所对应的数是：-90或.

③存在，理由如下：

设运动时间为t，此时C表示的数为：﹣30＋4t，A表示的数为：10＋7t，B表示的数为20＋3t.

∴AC=（10＋7t）－（﹣30＋4t）=3t＋40，OA=10＋7t，OB=20＋3t代入3CA+2mOB-mOA中得：

原式=3（3t＋40）＋2m（20＋3t）－m（10＋7t）

=（9－m）t＋120＋30m

∵3CA+2mOB-mOA为定值，即与t值无关，令t 的系数为0即可，

∴9－m=0，解得：

m=9，代入得：

定值=120＋30×9=390.