Question

【题目】如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O交CA于点E，点G是AD的中点．

（1）求证：GE是⊙O的切线；

（2）若AC⊥BC，且AC=8，BC=6，求切线GE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：

（1）连接OE、OG，由已知易证OG是△ACD的中位线，由此可得OG∥AC，结合OE=OC，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证得∠EOG=∠DOG，从而可证得△EOG≌△DOG，由此可得∠OEG=∠ODG=90°，即可证得EG是⊙O的切线；

（2）由已知条件易得AB=10，GD是⊙O的切线，则GE=GD，在Rt△ACD和Rt△BCD中，由AC2-AD2=CD2，BC2-BD2=CD2可得AC2-AD2=BC2-BD2，设BD=x，则AD=10-x，列出方程解得x的值，即可得到AD的长，从而得到GD的长就可得到GE的长了.

试题解析：

（1）连接OE，OG；

∵AG=GD，CO=OD，

∴OG是△ACD的中位线，

∴OG∥AC．

∴∠OEC=∠GOE，∠ACD=∠GOD．

∵OE=OC，

∴∠ACD=∠OEC．

∴∠GOD=∠GOE．

∵OE=OD，OG=OG，

∴△OEG≌△ODG．

∴∠OEG=∠ODG=90°．

∴GE是⊙O的切线．

（2）∵AC=8，BC=6，

∴AB==10．

∴OD⊥GD．

∴GD也是圆O的切线．

∴GD=GE．

设BD=x，则AD=10﹣x，

在Rt△CDA和Rt△CDB中，

由勾股定理得：CD2=82﹣（10﹣x）2，CD2=62﹣x2

∴82﹣（10﹣x）2=62﹣x2

解得x＝，

∴AD=10﹣=．

又∵点G是AD的中点，

∴GE=GD=AD=．

即切线GE的长为．